Числовые множества — определения. Числа. Натуральные числа

Словосочетание «числовые множества » довольно часто встречается в учебниках математики. Там очень часто можно встретить фразы такого плана:

«Бла-бла-бла, где принадлежит множеству натуральных чисел».

Частенько вместо окончания фразы можно увидеть вот такую запись . Она означает то же что и текст немного выше — число принадлежит множеству натуральных чисел. Многие довольно часто не придают внимания в каком множестве определена та или иная переменная. В результате применяться совершенно неверные методы при решении задачи или доказательстве теоремы. Это происходит из-за того, что свойства чисел принадлежащих различным множествам могут иметь различия.

Числовых множеств не так уж и много. Ниже можно увидеть определения различных числовых множеств.

Множество натуральных чисел включает в себя все целые числа больше нуля — положительные целые числа.

Например: 1, 3, 20, 3057. Множество не включает в себя цифру 0.

В это числовое множество входят все целые числа больше и меньше нуля, а так же ноль .

Например: -15, 0, 139.

Рациональные числа, вообще говоря, представляют собой множество дробей, которые не сокращаются (если дробь сокращается, то это уже будет целое число, и для этого случая не стоит вводить еще одно числовое множество).

Пример чисел входящих в рациональное множество: 3/5, 9/7, 1/2.

,

где – конечная последовательность цифр целой части числа, принадлежащего множеству вещественных чисел. Эта последовательность является конечной, то есть количество цифр в целофй части вещественного числа конечное количество.

– бесконечная последовательность чисел, стоящих в дробной части вещественного числа. Выходит, что в дробной части присутствует бесконечное количество чисел.

Такие числа невозможно представить в виде дроби. В противном случае, подобное число можно было бы отнести к множеству рациональных чисел.

Примеры вещественных чисел:

Давайте рассмотрим значение корня из двух внимательнее. В целочисленной части представлена только одна цифра — 1, поэтому мы можем записать:

В дробной части (после точки) последовательно идут числа 4, 1, 4, 2 и так далее. Поэтому для первых четырех цифр можно записать:

Смею надеяться, что теперь запись определения множества вещественных чисел стала понятней.

Заключение

Следует помнить, что одна и та же функция может проявлять совершенно разные свойства в зависимости от того к какому множеству будет принадлежать переменная. Так что помните основы – они вам пригодятся.

Post Views: 5 061

Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .

Таблица разрядов и классов чисел.

Современный симбиоз физики и математики приводит также и к радикальному переосмыслению употребляемых в математике базовых понятий, среди которых наиболее фундаментальное значение имеет это понятие.

Что входит в понятие числа

Число есть основной предмет физического знания. Физика изучает число. Физика изучает эффекты, возникающие в связи с существованием числа. Число есть форма существования времени в природе. Число есть реальный объект физики. Число - волна и частица одновременно. Число есть реальный объект, элемент времени, вещь, предмет времени, который, с точки зрения исследователя, есть и волна, и частица. Число, таким образом, есть предмет, осуществляющий колебательные и волновые процессы. Число излучает.

Форма существования числа есть колебание - гармонические колебания, механические гармонические колебания, свободные гармонические колебания в электрическом колебательном контуре, затухающие и вынужденные колебания.

Понятие числа. Квантовая физика ближе всех других разделов физики подошла к истинному, но не явному объекту современной физики - к числу. Действительный объект физики есть число.

Пространство состоит из чисел. Одна реальная бесконечность числового ряда (счетная бесконечность) и есть пространство само по себе.

Одна реальная бесконечность числового ряда есть «поле». Бесконечный числовой ряд и есть консистенция «природы», он есть процесс времени как материи всякого осуществления. Число, универсальное и конкретное, и есть реальность, скрывающаяся под именем «тело» в классической механике. Только число и есть. Внутренние отношения числового ряда и образуют прозрачное пространство физики.

В. И. Шилов

«Скорость», «ускорение», «импульс», «инерция», «энергия», «тепловое движение», «работа», «флуктуации», «электрическое поле», «электрический заряд», «электрический ток», «диэлектрик», «полупроводник», «плазма», «магнитное поле», «атом», «индукция», «электрический ток», «колебания», «волны», «тепловое излучение», «фотон», «радиоактивность», «фундаментальные взаимодействия элементарных частиц» - и все это измеряется числом.

Поэтому число есть изначальный предмет физики, совпадающий с сущностью математики. Все физические эксперименты есть эксперименты «внутри» числового ряда, эксперименты с конкретными числами, эксперименты в области взаимодействия чисел, эксперименты, опирающиеся на реальную бесконечность одного, но реально существующего числового ряда.

Само различие типов чисел есть действительная физическая реальность физических процессов, представленных в разделах современной физики. Различие типов чисел есть реальная форма различия физических взаимодействий и видов физической материи.

Типы чисел отражают все многообразие физических процессов и являются изучаемой формой этого многообразия. Итак:

Делимость числа есть конкретная физическая сущность физического процесса.

Неделимое, простое число является последним истинным объектом физики.

Прие моч ное Источник: ГОСТ 111 90: Стекло листовое. Технические условия оригинал документа Смотри также родственные термины: 109. Число бетатронных колебаний …

Глаг., нсв., употр. сравн. часто Морфология: я вхожу, ты входишь, он/она/оно входит, мы входим, вы входите, они входят, входи, входите, входил, входила, входило, входили, входящий, входивший, входя, входив; сущ., м. вход … Толковый словарь Дмитриева

Число ходов пакета змеевиков - 9. Число ходов пакета змеевиков Число последовательно включенных групп змеевиков, характеризующихся общим по отношению к омывающейся среде направлением движения внутренней среды Примечание. По числу ходов различают, например, одноходовой,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Особый вид познавательной деятельности, направленный на выработку объективных, системно организованных и обоснованных знаний о мире. Взаимодействует с др. видами познавательной деятельности: обыденным, художественным, религиозным, мифологическим … Философская энциклопедия

Содержание: 1) Определение Ц. 2) Происхождение Ц. 3) Общая характеристика Ц. 4) Организация Ц. 5) Хозяйственная структура Ц. 6) Политическая роль Ц. 7) Эволюция средневековой цеховой организация. 8) Упадок Ц. 9) Литература. 1) Определение Ц.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

У этого термина существуют и другие значения, см. Революционный календарь. Календарь Данные о календаре Тип календаря Солнечный, лунный, лунно солнечный Календарная эра Вставка високосов … Википедия

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Уран … Википедия

Уран Фотография Урана с аппарата «Вояджер 2». Сведения об открытии Дата открытия 13 марта 1781 Первооткрыватель … Википедия

Danny Phantom … Википедия

Книги

• Косморитмы в истории Российской империи (1671-1918) , В. И. Васильев. В настоящей книге представлена оригинальная методика расчета планетных соотношений между различными датами истории. Используемые повсеместно единицы измерениявремени условны, они`привязаны`к…
• 13 врат эзотерики. История эзотерических учений от Адама до наших дней , Евгений Колесов. Эта книга возникла на основе курса лекций, прочитанных автором в 1994-95 гг. в Университете истории культур. У автора давно была мысль попытаться связно и объективно изложить историю…

Чтобы НАМНОГО упростить себе жизнь когда надо что-то вычислить, чтобы выиграть драгоценное время на ОГЭ или ЕГЭ, чтобы сделать меньше глупых ошибок - читай этот раздел!

Вот чему ты научишься:

• как быстрее, легче и точнее считать, используя группировку чисел при сложении и вычитании,
• как без ошибок, быстро умножать и делить, используя правила умножения и признаки делимости ,
• как значительно ускорить расчеты с помощью наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД).

Владение приемами этого раздела может перевесить чашу весов в ту или иную сторону...поступишь ты в ВУЗ мечты или нет, придется тебе или твоим родителям платить огромные деньги за обучение или ты поступишь на бюджет.

Let"s dive right in... (Поехали!)

P.S. ПОСЛЕДНИЙ ЦЕННЫЙ СОВЕТ...

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

1. натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
2. числа, противоположные натуральным (все станет на свои места, как только ты узнаешь, что такое натуральные числа);
3. ноль - " " (куда уж без него?)

буквой Z.

Натуральные числа

«Бог создал натуральные числа, всё остальное - дело рук человеческих» (c) Немецкий математик Кронекер.

Натуральные числа - это числа, которые мы употребляем для счета предметов и именно на этом основывается их история возникновения - необходимости считать стрелы, шкуры и т.д.

1, 2, 3, 4... n

буквой N.

Соответственно, в это определение не входит (не можешь же ты посчитать то, чего нет?) и тем более не входят отрицательные значения (разве бывает яблоко?).

Кроме этого, не входят и все дробные числа (мы также не можем сказать « у меня есть ноутбука», или «я продал машины»)

Любое натуральное число можно записать с помощью 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Таким образом, 14 - это не цифра. Это число. Из каких цифр оно состоит? Правильно, из цифр и.

Сложение. Группировка при сложении чтобы быстрей считать и меньше ошибаться

Что интересного ты можешь сказать про эту процедуру? Конечно, ты сейчас ответишь «от перестановки слагаемых значение суммы не меняется». Казалось бы, примитивное, знакомое с первого класса правило, однако, при решении больших примеров оно моментально забывается!

Не забывай про него - используй группировку , чтобы облегчить себе процесс подсчета и снизить вероятность ошибок, ведь на ЕГЭ калькулятора у тебя не будет.

Смотри сам, какое выражение легче сложить?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

​​Конечно же второе! Хотя результат один и тот же. Но! считая вторым способом у тебя меньше шансов ошибиться и ты все сделаешь быстрее!

Итак, ты в уме считаешь вот так:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Вычитание. Группировка при вычитании, чтобы быстрее считать и меньше ошибаться

При вычитании мы также можем группировать вычитаемые числа, например:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

А что, если вычитание чередуется в примере со сложением? Так же можно группировать, ответишь ты, и это правильно. Только прошу, не забывай о знаках перед числами, например: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Помни: неправильно проставленные знаки приведут к ошибочному результату.

Умножение. Как умножать в уме

Очевидно, что от перемены мест множителей значение произведения также не изменится:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Я не буду говорить тебе «используй это при решении примеров» (ты и сам понял намек, правда?), а лучше расскажу, как быстро умножать некоторые числа в уме. Итак, внимательно смотри таблицу:

И еще немного об умножении. Конечно, ты помнишь два особых случая … Догадываешься о чем я? Вот об этом:

Ах да, еще рассмотрим признаки делимости . Всего существует 7 правил по признакам делимости, из которых первые 3 ты точно уже знаешь!

А вот остальные совсем не сложно запомнить.

7 признаков делимости чисел, которые помогут тебе быстро считать в уме!

• Первые три правила ты, конечно же, знаешь.
• Четвертое и пятое легко запомнить - при делении на и мы смотрим, делится ли на это сумма цифр, составляющих число.
• При делении на мы обращаем внимание на две последние цифры числа - делится ли число, которое они составляют на?
• При делении на число должно одновременно делиться на и на. Вот и вся премудрость.

Ты сейчас думаешь - «зачем мне все это»?

Во-первых, ЕГЭ проходит без калькулятора и данные правила помогут тебе сориентироваться в примерах.

А во-вторых, ты же слышал задачи про НОД и НОК ? Знакомая аббревиатура? Начнем вспоминать и разбираться.

Наибольший общий делитель (НОД) - нужен для сокращения дробей и быстрых вычислений

Допустим, у тебя есть два числа: и. На какое наибольшее число делятся оба этих числа? Ты, не задумываясь, ответишь, потому что знаешь, что:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Какие цифры в разложении общие? Правильно, 2 * 2 = 4. Вот и твой ответ был. Держа в голове этот простой пример, ты не забудешь алгоритм, как находить НОД . Попробуй «выстроить» его у себя в голове. Получилось?

Чтобы найти НОД необходимо:

1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на, например, 3, 7, 11, 13 и т.д.).
2. Перемножить их.

Понимаешь, зачем нам нужны были признаки делимости? Чтобы ты посмотрел на число и мог начать делить без остатка.

Для примера найдем НОД чисел 290 и 485

Первое число - .

Глядя на него, ты сразу можешь сказать, что оно делится на, запишем:

больше разделить ни на что нельзя, а вот можно - и, получаем:

290 = 29 * 5 * 2

Возьмем еще одно число - 485.

По признакам делимости оно должно без остатка делиться на, так как на заканчивается. Делим:

Проанализируем изначальное число.

• На оно делиться не может (последняя цифра - нечетная),
• - не делится на, значит число тоже не делится на,
• на и на также не делится (сумма цифр, входящих в число, не делится на и на)
• на тоже не делится, так как не делится на и,
• на тоже не делится, так как не делится на и.
• нельзя разделить на нацело,

Значит, число можно разложить только на и.

А теперь найдем НОД этих чисел (и). Какое это число? Правильно, .

Потренируемся?

Задача №1. Найти НОД чисел 6240 и 6800

1) Делю сразу на, так как оба числа 100% делятся на:

Задача №2. Найти НОД чисел 345 и 324

Здесь не могу быстро найти хоть один общий делитель, так что просто раскладываю на простые множители (как можно меньше):

Наименьшее общее кратное (НОК) - экономит время, помогает решить задачи нестандартно

Допустим, у тебя есть два числа - и. Какое существует самое маленькое число, которое делится и без остатка (то есть нацело)? Сложно представить? Вот тебе визуальная подсказка:

Ты же помнишь, что обозначается буквой? Правильно, как раз целые числа. Так какое наименьшее число подходит на место х? :

В данном случае.

Из этого простого примера вытекает несколько правил.

Правила быстрого нахождения НОК

Правило 1. Если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным.

Найди у следующих чисел:

• НОК (7;21)
• НОК (6;12)
• НОК (5;15)
• НОК (3;33)

Конечно, ты без труда справился с этой задачей и у тебя получились ответы - , и.

Заметь, в правиле мы говорим о ДВУХ числах, если чисел будет больше, то правило не работает.

Например, НОК (7;14;21) не равно 21, так как не делится без остатка на.

Правило 2. Если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное равно их произведению.

Найди НОК у следующих чисел:

• НОК (1;3;7)
• НОК (3;7;11)
• НОК (2;3;7)
• НОК (3;5;2)

Посчитал? Вот ответы - , ; .

Как ты понимаешь, не всегда можно так легко взять и подобрать этот самый х, поэтому для чуть более сложных чисел существует следующий алгоритм:

Потренируемся?

Найдем наименьшее общее кратное - НОК (345; 234)

Найди наименьшее общее кратное (НОК) самостоятельно

Какие ответы у тебя получились?

Вот, что вышло у меня:

Сколько времени ты потратил на нахождение НОК ? Мое время - 2 минуты, правда я знаю одну хитрость , которую предлагаю тебе открыть прямо сейчас!

Если ты очень внимателен, то ты наверное заметил, что по заданным числам мы уже искали НОД и разложение на множители этих чисел ты мог взять из того примера, тем самым упростив себе задачу, но это далеко не все.

Посмотри на картинку, возможно к тебе придут еще какие-нибудь мысли:

Ну что? Сделаю подсказку: попробуй перемножить НОК и НОД между собой и запиши все множители, которые будут при перемножении. Справился? У тебя должна получиться вот такая цепочка:

Присмотрись к ней повнимательней: сравни множители с тем, как раскладываются и.

Какой вывод ты можешь сделать из этого? Правильно! Если мы перемножим значения НОК и НОД между собой, то мы получим произведение этих чисел.

Соответственно, имея числа и значение НОД (или НОК ), мы можем найти НОК (или НОД ) по такой схеме:

1. Находим произведение чисел:

2. Делим получившееся произведение на наш НОД (6240; 6800) = 80:

Вот и все.

Запишем правило в общем виде:

Попробуй найти НОД , если известно, что:

Справился? .

Отрицательные числа - «лжечисла» и их признание человечеством.

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить - все как в натуральных. Казалось бы, что в них такого особенного? А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание». Действительно, из вычесть - вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел ».

Отрицательные числа долго не признавались людьми. Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция - светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии. Как ты думаешь, с чем связано это признание? Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе - недостачу). Считалось, что отрицательные числа - это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие. Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю - к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи - это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского - Фибоначчи)). Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что. Как думаешь, чем он это обосновывал? Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО». Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом - минусом «-». И правда: . Число « » положительное, которое вычитается из, или отрицательное, которое суммируется к?... Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Отрицательные числа закрепили свое право на существование с появлением аналитической геометрии, иначе говоря, когда математики ввели такое понятие как числовая ось.

Именно с этого момента наступило равноправие. Однако все равно вопросов было больше чем ответов, например:

пропорция

Данная пропорция носит название «парадокс Арно». Подумай, что в ней сомнительного?

Давай рассуждать вместе « » больше, чем « » верно? Таким образом, согласно логике, левая часть пропорции должна быть больше, чем правая, но они равны… Вот он и парадокс.

В итоге, математики договорились до того, что Карл Гаусс (да, да, это тот самый, который считал сумму (или) чисел) в 1831 году поставил точку - он сказал, что отрицательные числа имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, так как дроби так же не применимы ко многим вещам (не бывает так, что яму роют землекопа, нельзя купить билета в кино и т.д.).

Успокоились математики только в XIX веке, когда Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом была создана теория отрицательных чисел.

Вот такие они спорные, эти отрицательные числа.

Возникновение «пустоты», или биография нуля.

В математике - особенное число. С первого взгляда, это ничто: прибавить, отнять - ничего не изменится, но стоит только приписать его справа к « », и полученное число будет в раз больше изначального. Умножением на ноль мы все превращаем в ничто, а разделить на «ничто», то есть, мы не можем. Одним словом, волшебное число)

История нуля длинная и запутанная. След нуля найден в сочинениях китайцев во 2 тыс. н.э. и ещё раньше у майя. Первое использование символа нуля, каковым он является в наши дни, было замечено у греческих астрономов.

Существует множество версий, почему было выбрано именно такое обозначение «ничего». Некоторые историки склоняются к тому, что это омикрон, т.е. первая буква греческого слова ничто - ouden. Согласно другой версии, жизнь символу ноля дало слово «обол» (монета, почти не имеющая ценности).

Ноль (или нуль) как математический символ впервые появляется у индийцев (заметь, там же стали «развиваться» отрицательные числа). Первые достоверные свидетельства о записи нуля относятся к 876 г., и в них « » - составляющая числа.

В Европу ноль также пришел с запозданием - лишь в 1600г., и также как и отрицательные числа, сталкивался с сопротивлением (что поделаешь, такие они, европейцы).

«Нуль часто ненавидели, издавна боялись, а то и запрещали» — пишет американский математик Чарльз Сейф. Так, турецкий султан Абдул-Хамид II в конце XIXв. приказал своим цензорам вычеркнуть из всех учебников химии формулу воды H2O, принимая букву «О» за нуль и не желая, чтобы его инициалы порочились соседством с презренным нулём».

На просторах интернета можно встретить фразу: «Ноль - самая могущественная сила во Вселенной, он может всё! Ноль создаёт порядок в математике, и он же вносит в неё хаос». Абсолютно верно подмечено:)

Краткое изложение раздела и основные формулы

Множество целых чисел состоит из 3 частей:

• натуральные числа (рассмотрим их подробнее чуть ниже);
• числа, противоположные натуральным;
• ноль - " "

Множество целых чисел обозначается буквой Z.

1. Натуральные числа

Натуральные числа - это числа, которые мы употребляем для счета предметов.

Множество натуральных чисел обозначается буквой N.

В операциях с целыми числами понадобится умение находить НОД и НОК.

Наибольший общий делитель (НОД)

Чтобы найти НОД необходимо:

1. Разложить числа на простые множители (на такие числа, которые нельзя разделить ни на что больше, кроме самого себя или на, например, и т.д.).
2. Выписать множители, которые входят в состав обоих чисел.
3. Перемножить их.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК необходимо:

1. Разложить числа на простые множители (это ты уже отлично умеешь делать).
2. Выписать множители входящие в разложение одного из чисел (лучше брать самую длинную цепочку).
3. Добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел.
4. Найти произведение получившихся множителей.

2. Отрицательные числа

это числа, противоположные натуральным, то есть:

Теперь я хочу слышать тебя...

Надюсь ты оценил супер-полезные "трюки" этого раздела и понял как они помогут тебе на экзамене.

И что более важно - в жизни. Я об этом не говорю, но, поверь, этот так. Умение быстро и без ошибок считать спасает во многих жизненных ситуациях.

Теперь твой ход!

Напиши, будешь ли ты применять методы группировки, признаки делимости, НОД и НОК в расчетах?

Может быть ты применял их ранее? Где и как?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях как тебе статья.

И удачи на экзаменах!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!