Одну задачу – несколькими методами

Ю. Фоминых,
г. Пермь

Одну задачу – несколькими методами

10 класс

Решение одной задачи несколькими способами чрезвычайно полезно, так как демонстрирует учащимся единство математики, приводит знания в систему и, в конечном итоге подводит школьников к пониманию важнейшей мировоззренческой идеи о единстве мира.

В качестве примера рассмотрим классическую задачу.

С какого расстояния лучше всего рассматривать картину?

А вот та же задача в слегка измененном виде.

На каком расстоянии от экрана лучше всего сидеть в кинотеатре?

Известна и третья формулировка.

На некотором расстоянии от шоссе виден дворец. С какой точки шоссе экскурсантам лучше всего рассматривать фасад дворца?

Понятно, что картина может висеть под некоторым углом к стене; пол в зрительном зале может быть и не перпендикулярен экрану; дворец вообще может быть расположен под любым углом к шоссе.

Задача обладает рядом несомненных методических достоинств.

Во-первых, в ней нет никаких числовых данных. Согласитесь, всегда веет некоторой искусственностью, когда мы сообщаем ученику: дворец имеет длину (по фасаду) 50 м, фасад составляет с шоссе угол в 60° и т. д.

Во-вторых, не сразу понятно, что значит «лучше всего». Это еще надо перевести на математический язык. Можно согласиться, что картина лучше всего видна целиком, если в поле зрения она занимает наибольший угол. Только теперь мы приходим к математической формулировке задачи.

Из какой точки прямой l отрезок AB виден под наибольшим углом (рис. 1)?

В-третьих, задача допускает ее исследование самыми разными способами: от элементарной геометрии до математического анализа.

Решение 1. (С помощью элементарной геометрии.) Начнем с простого: пусть AB l. Будем искать точку C методами задач на построение. Обозначим: EA = a, EB = b, EC = x, j = Р ABC – угол, который следует максимизировать.

Построение. Через середину AB проведем прямую l 1 кз l. Расстояние между прямыми l 1 и l равно На расстоянии h от A возьмем на l 1 точку O. Радиусом h проведем окружность с центром в точке O. Она пройдет через точки A, B и будет касаться прямой в искомой точке C.

Доказательство. Угол j вписан в окружность с центром O и равен половине угла AOB. Если мы возьмем на l любую другую точку C 1 и проведем окружность через точки A, B, C 1 с центром O 1 О l 1 , то, очевидно, ее радиус O 1 C 1 будет больше h, поэтому Р AO 1 B < Р AOB и, следовательно, Р AC 1 B< Р ACB.

По теореме Пифагора имеем

Заметим, что линия l проведена на уровне глаз зрителя. Итак, если, например, верхний край картины выше глаз зрителя на 2 м, а нижний – на 1 м, то картина будет видна под наибольшим углом, если ее рассматривать с расстояния м от стены.

Решение 2. (Снова с помощью геометрического построения.) Строим точку B 1 симметрично точке B относительно l (рис. 2). На отрезке AB 1 как на диаметре строим окружность. Точка C – пересечение окружности с прямой l.

Совпадение значения x с вычисленными ранее и служит доказательством правильности второго построения. Впрочем, попробуйте найти прямое доказательство (без ссылки на решение 1).

Решение 3. (С помощью тригонометрии и алгебры.) На рисунке 1 обозначим Р ACE = a , Р BCE= b . Тогда

Нас интересует вопрос: при каком значении x угол j принимает наибольшее значение? В силу монотонности функции тангенса наибольшее значение j и tg j достигается в одной и той же точке. В этой же точке достигается минимум обратной величины

и отличающейся от нее на постоянный множитель величины

(по неравенству Коши ). Равенство достигается при т. е. при этом значении x достигается минимум функции y и максимум угла j .

Решение 4. (С помощью производной арктангенса.) Максимум угла j можно найти стандартными методами математического анализа.

Очевидно

Это решение может служить мотивом для введения производной обратной функции и, в частности, арктангенса. Если учитель не собирается этого делать, можно эту трудность обойти с помощью решения 5.

Решение 5. (Опять с помощью математического анализа, но без привлечения производной арктангенса.) Вместо максимума j можно искать максимум функции (1) или даже минимум функции (2):

Решение 6. (Методом координат.) Пусть теперь картина висит наклонно.

Введем декартову систему координат с началом координат в точке E, EC – линия на уровне глаз зрителя, g – угол между EА и EC (рис. 3). Аналитическая геометрия поможет нам вычислить координаты центра O(x; y) окружности, проходящей через точки A, B, C (тогда, по аналогии с первым решением, опять будет обеспечиваться максимум угла Р ACB).

Вычислим координаты точек

A(acos g ; asin g ), B(bcos g ; bsin g ), C(x; 0)

и квадраты расстояний

Получим систему уравнений

откуда

Преобразуем последнее равенство:

Удивительно, но и в общем случае мы получили то же выражение для x, но теперь оно имеет другой смысл: x откладывается не от стены, а от точки E, а расстояние от стены равно x – bcos g .

Замечание. С помощью аналитической геометрии можно пойти по другому пути, если иначе выбрать систему координат. Например, если взять начало координат в точке E, а ось Ox направить через точки A, B, то у них будут простые координаты A(a; 0), B(b; 0). При этом линия уровня зрения будет иметь вид y = xtg g .

Попробуйте найти другие решения этой интересной задачи.

Столь же важно и второе правило – держать снимок в надлежащем расстоянии от глаза; в противном случае нарушается правильная перспектива.

Каково же должно быть это расстояние? Для получения полного впечатления надо рассматривать снимок под тем же углом зрения, под каким объектив аппарата «видел» изображение на матовом стекле камеры, или, что то же самое, под каким он «видел» снимаемые предметы (рис. 58). Отсюда следует, что снимок надо приблизить к глазу на расстояние, которое во столько же раз меньше расстояния предмета от объектива, во сколько раз изображение предмета меньше натуральной величины. Другими словами, надо держать снимок от глаза на расстоянии, которое приблизительно равно фокусной длине объектива.

Рис. 58. В фотографическом аппарате угол 1 равен углу 2

Если мы примем во внимание, что в большинстве любительских аппаратов фокусное расстояние равно 12–15 см , то поймем, что мы никогда не рассматриваем таких снимков на правильном расстоянии от глаза: расстояние лучшего зрения для нормального глаза (25 см) почти вдвое более указанного. Плоскими кажутся и фотографии, висящие на стене, – их рассматривают с еще большего расстояния.

Только близорукие люди, с коротким расстоянием лучшего зрения (а также дети, способные видеть на близком расстоянии), могут доставить себе удовольствие любоваться тем эффектом, который дает обыкновенный снимок при правильном рассматривании (одним глазом). Держа фотографию на расстоянии 12–15 см от глаза, они видят перед собой не плоскую картину, а рельефный образ, в котором передний план отделяется от заднего почти как в стереоскопе.

Читатель, надеюсь, согласится теперь, что в большинстве случаев мы только по собственному неведению не получаем от фотографических снимков в полной мере того удовольствия, какое они могут доставить, и часто напрасно жалуемся на их безжизненность. Все дело в том, что мы не помещаем своего глаза в надлежащей точке относительно снимка и смотрим двумя глазами на изображение, предназначенное только для одного.

Многие задаются вопросом: На какой высоте повесить картины на стене, над диваном, над кроватью, столом, на лестничной стене?

Картина на стене имеет важное значение в оформлении интерьера, это наши воспоминания, наши самые драгоценные моменты запечатленные с семьей и друзьями.

На какую высоту нужно вешать картины/фотографии – чтобы выбрать правильное место для них

Когда дело доходит до вопроса, на какую высоту повесить картины, то Ваша основная задача состоит в том, чтобы показать фотографии, акварель или картины написанные маслом. Поиск подходящего места для ваших изображений является первым шагом. Легко определиться, если вы хотите, повесить только один экземпляр. Вы можете прислонить картину к стене на нужной высоте и отметить место карандашом. Лучше, если вы пометили верхнюю отметку, тогда вы увидите на какой высоте она окажется и не слишком ли высоко.

Совсем другое дело, когда вы хотите повесить больше чем одну картину. Лучший метод, определить их высоту расположения на стене, таким образом: вырезать бумажные модели размером ваших фотографий и расположить их на стене с помощью клейкой ленты. Это даст вам достаточно хорошее представление окончательного вида, если что-то не подошло, можно повторно переклеить бумажные модели, пока вы не достигните своей цели и не будете удовлетворены и довольны результатом. Помните, что изображения одинакового размера обычно работают лучше всего, когда расположены горизонтально бок о бок, как в альбомном или портретном формате. Есть множество способов, чтобы упорядочить Ваши фотографии и даже если вы нарушаете правила, в конце концов важно то, что Вы наслаждаетесь ими.

Простые правила и полезные советы

Существует не один ответ на вопрос, на какой высоте вешать картины. Но все же есть основные правила, которые вы должны иметь в виду, в зависимости от того, где вы хотите разместить свою фотографию или фотографии. Вот некоторые из наиболее важных высот, которые вы должны соблюдать:

Когда вы вешаете картины с намерением, что на них будут смотреть из положения стоя, как правило, в прихожих и холлах, высота должна быть от 150 см до 170 см от пола до центра картины. Вы можете разместить их таким образом, чтобы они находились на уровне глаз, а так как люди также бывают разного роста, нужно пытаться найти баланс.

Картины над диваном

Общее правило говорит о том, что нижняя рама должна быть на 20 – 25 см выше дивана. Когда размещаете группу изображений, возможно, придется нарушить правила, чтобы ваши снимки отображались в сбалансированном и гармоничным порядке. Лучше всего, если вы повесите свои фотографии на 2/3 длины дивана. Если у вас есть одно большое изображение, поместите его в центре над диваном.

Картины над кроватью

rc="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js">

При размещении картины над кроватью, самая распространенная ошибка людей, это то что они вешают их слишком высоко и картинка (картинки), тогда кажется, что они плавают в воздухе. Повесите одну или группу картин, то желательно, чтобы нижняя части рамка находилась от 20 до 25 см выше спинки кровати.

Над каминной доской

Почти в каждом доме, камин является координационным центром, и когда вы хотите, чтобы ваши картины или фотографии были замечены, тогда лучшее место стенки камина. Чтобы повесить картины над каминной доской нужно соблюдать высоту 10 – 15 см выше камина, она является оптимальной. Когда вы планируете организовать другие аксессуары – статуэтки, вазы, свечи, подсвечники и т.д., – высота может варьироваться, но основная цель состоит в том, чтобы достичь баланса и избежать впечатления, что ваша картина плавает, другими словами, чтобы она была расположена не слишком высоко.

На стене лестничной клетки

rc="//pagead2.googlesyndication.com/pagead/js/adsbygoogle.js">

Это одна из наиболее сложных вопросов, а лестничные клетки различаются по стилю, форме и конструкции. Вы можете организовать фотографии по-разному, но имейте в виду общее правило 150 см до 170 см от пола до центра изображения.

Мы видим мир трехмерным, но изображение, которое попадает на наши глаза плоское-двухмерное. Наш мозг из двухмерного изображения создает трехмерное. Это очень важная мысль - подумайте над ней.

Когда вы смотрите через объектив своего фотоаппарата - вы видите мир трехмерным, вы видите тоже самое, что видит фотоаппарат.

Почему же тогда, когда мы смотрим фотографии, полученные фотоаппаратом, они плоские, а не объемные?

По устройству своему фотоаппарат - это глаз. Фотоаппарат сохраняет вид, который представился бы нашему глазу (заметьте - одному глазу!), помещенному на месте объектива. Отсюда следует, что раз мы желаем получить от снимка такое же зрительное впечатление, как и от самой натуры, мы должны:

1) рассматривать снимок только одним глазом и
2) держать снимок в надлежащем расстоянии от глаза .

Нетрудно понять, что, рассматривая снимок двумя глазами, мы неизбежно должны увидеть перед собой плоскую картину, а не изображение, имеющее глубину. Это с необходимостью вытекает из особенностей нашего зрения.

Когда мы рассматриваем предмет, на сетчатках наших глаз получаются изображения неодинаковые: правый глаз видит не совсем то же, что рисуется левому. Эта неодинаковость изображений и есть, в сущности, главная причина того, что предметы представляются нам объемными: сознание наше сливает оба неодинаковых впечатления в один рельефный образ.

Иное дело, если перед нами предмет плоский, например поверхность стены, оба глаза получают тогда вполне тождественные впечатления; одинаковость эта является для сознания признаком плоскостного протяжения предмета.

Теперь ясно, в какую ошибку впадаем мы, когда рассматриваем фотографию двумя глазами; этим мы навязываем своему сознанию убеждение, что перед нами именно плоская картина! Когда мы предлагаем обоим глазам снимок, предназначенный только для одного, мы мешаем себе видеть то, что должна дать нам фотография; вся иллюзия, в таком совершенстве создаваемая фотоаппаратом, разрушается этим промахом.

На каком расстоянии надо держать фотографию?

Столь же важно и второе правило - держать снимок в надлежащем расстоянии от глаза; в противном случае нарушается правильная перспектива. Для получения полного впечатления надо рассматривать снимок под тем же углом зрения, под каким он “видел” снимаемые предметы.

Отсюда следует, что снимок надо приблизить к глазу на расстояние, которое во столько же раз меньше расстояния предмета от объектива, во сколько раз изображение предмета меньше натуральной величины.

Только близорукие люди, с коротким расстоянием лучшего зрения (а также дети, способные видеть на близком расстоянии), могут доставить себе удовольствие любоваться тем эффектом, который дает обыкновенный снимок при правильном рассматривании (одним глазом).

Странное действие увеличительного стекла

Близорукие люди легко могут обыкновенные фотографии видеть рельефными. Но как быть людям с нормальными глазами? Они не могут придвигать изображений очень близко к глазу, но им поможет здесь увеличительное стекло .

Смотря на снимок через лупу с увеличением в два раза, такие люди легко могут приобрести указанные выгоды близорукого, т. е., не напрягая глаз, могут видеть, как фотография приобретает рельефность и глубину. Разница между получаемым при этом впечатлением и тем, что мы видим, глядя на фотографию двумя глазами с большого расстояния, - огромна.

Материал подготовил: Никонов Владимир.
По книге Я.И. Перельмана "Занимательная физика"

Предмет перспективы мы определили как центральную проекцию, ограниченную возможностями зрительного восприятия. И действительно, с некоторым приближением можно считать, что глаз человека работает по принципу центрального проецирования. Оптический центр хрусталика является центром проецирования, сетчатка – плоскостью проекций (рис. 19). Отраженные от рассматриваемых предметов лучи (проецирующие прямые), попадая в глаз, вызывают на сетчатке перевернутое изображение в виде раздражения светочувствительных клеток. Эти раздражения по глазному нерву передаются в головной мозг, который и синтезирует в нашем сознании образ предмета.

Рисунок 19

Расположение светочувствительных клеток, образующих желтое пятно, неравномерно по всей сетчатке. Наибольшее их количество находится напротив зрачка. Поэтому наиболее отчетливо мы видим те предметы, которые находятся вдоль оптической оси глаза. При удалении предметов от глаза размеры изображения на сетчатке уменьшаются и потому мы видим их уменьшенными.

Световые лучи, отраженные от предметов, образуют в точке зрения (хрусталике) вершину конуса зрения. Этот конус бесконечен в глубину, но ограничен для двух глаз крайними образующими по ширине до 140º и по высоте 110º. Если конус зрения пересечь плоскостью картины перпендикулярно к оптической оси, то в сечении получим фигуру овоидной формы, называемой полем зрения (рис. 20). В пределах поля зрения четко мы видим лишь небольшую его часть в виде круга с центром в точке пересечения главного луча с картиной. Этот круг называется полем ясного зрения .

Рисунок 20

Физиологические возможности глаза позволяют в неподвижном положении достаточно четко видеть предметы при угле зрения около 7º. Поэтому при чтении книги с расстояния 25-30 см четко мы видим лишь 3-4 буквы. Но наш глаз не неподвижен. Его оптическая ось совершает «ощупывающее» движение по рассматриваемому предмету, и поскольку зрительное восприятие является психическим процессом, то благодаря таким его свойствам, как константность и целостность, в нашем сознании формируется образ рассматриваемого предмета при значительно большем угле зрения.

Исследованиями и практикой изобразительного искусства установлено, что четко воспринимать зрительный образ предметов человек способен при угле зрения 28-37º, а умеренно – при угле до 53º. Очевидно, чем больше угол зрения, тем меньшее зрительное расстояние необходимо как при изображении тех или иных событий, так и при восприятии получаемого изображения. Художник, пишущий картину с близкого расстояния, и зритель, рассматривающий ее, становятся как бы участниками изображенного события. Вот почему абсолютное большинство жанровых картин известных мастеров изобразительного искусства написаны с минимально допустимого зрительного расстояния , соответствующего углу зрения 45-55º. Минимально допустимое зрительное расстояние дает художнику возможность наилучшим образом передать характеры персонажей и детали предметов. При угле зрения 28-37º зрительное расстояние до изображаемых предметов увеличивается, художник изображает данное событие как бы со стороны, не являясь его непосредственным участником.

Таким образом, изображения в перспективе ограничиваются пределом удаления точки зрения от картины, и, чтобы получить изображение, близкое нашему зрительному восприятию, нужно исходить из возможности нашего зрения отчетливо видеть и предметы, и их изображения. Поэтому следует выбирать такое зрительное расстояние , при котором вся картина и изображаемые на ней предметы находились бы в поле ясного или умеренного зрения.

Лучи, проведенные на окружность поля ясного зрения, образуют конус ясного зрения , который характеризуется углом зрения а, образованным при его вершине двумя противоположными образующими, зрительным расстоянием d и радиусом круга поля ясного зрения R (рис. 21). Радиус круга поля ясного зрения, зрительное расстояние и угол зрения связаны между собой зависимостью R:d = tg (a/2) .

Рисунок 21

За единицу зрительного расстояния удобно брать радиус круга поля ясного зрения. Из формулы d = R: tg (a/2) следует (рис. 22): если точка зрения удалена от картины на величину одного радиуса поля ясного зрения, угол зрения равен 90º; если же на величину двух радиусов – 28º; пяти радиусов – 22º и т.д.

Рисунок 22

При среднем нормальном зрении углом поля ясного зрения принято считать 28-37º, а углом допустимого умеренного видения – угол до 53º. Поэтому зрительное расстояние целесообразно выбирать в пределах 2-4 радиусов круга поля ясного зрения. Перспектива экстерьера с разных зрительных расстояний построена на рис. 23. Зрительное расстояние на рис. 23, а равно одному радиусу круга поля ясного зрения, что соответствует углу зрения 90º.

Рисунок 23, а

Пунктирная окружность определяет границу поля ясного зрения. Заштрихованная часть круга входит в зону неясного зрения. Малое зрительное расстояние привело к искаженному изображению квадратных плит и триумфальной арки.

Рис. 23, б , в построены соответственно с двух и четырех радиусов круга поля ясного зрения.

Рисунок 23, б

Рисунок 23, в

На рис. 23, г зрительное расстояние равно шести радиусам, угол зрения – 18º. Слишком большое зрительное расстояние привело к тому, что изображение арки слилось с окружающими предметами.

Рисунок 24, г

Умелый выбор зрительного расстояния – необходимое условие для выполнения перспективного рисунка. Выбирая зрительное расстояние , нужно исходить из того, чтобы вся картина находилась в поле ясного или умеренного зрения. В тематических картинах, как правило, зрительное расстояние принимают минимально допустимым, т. е. близким двум радиусам круга поля ясного зрения. Этого достигают следующим образом:

1) если линия горизонта проходит посередине картины, минимальное зрительное расстояние равно диагонали картины, т. е. 2R (рис. 24, а );

Рисунок 24, а

2) если линия горизонта проходит выше или ниже середины картины, минимальное зрительное расстояние равно диаметру такого круга, радиус R которого равен расстоянию от главной точки Р до наиболее удаленного угла картины (рис. 24, б ).

Рисунок 24, б

Практически, выбирая зрительное расстояние , нужно: в соответствии с замыслом провести линию горизонта h и наметить положение главной точки картины Р (рис. 24, в ).

Рисунок 24, в

Измерив расстояние от точки Р до наиболее удаленного угла картины, получить радиус R круга поля ясного зрения. Отложив от главной точки Р два радиуса на перпендикуляре к линии горизонта, получить положение совмещенной точки зрения Z и зрительное расстояние d=2R .

Следует иметь в виду, что зрительное расстояние , равное двум радиусам круга поля ясного зрения, соответствует максимально допустимому углу зрения 53º, поэтому при построении перспективного изображения возможны искажения. Особенно заметны в этом случае искажения на переднем плане при изображении предметов, имеющих правильные геометрические формы (паркет, ковер, стол и пр.). Поэтому при построении перспектив с минимального зрительного расстояния необходимо или избегать изображения на переднем плане предметов правильных геометрических форм, или сознательно «закрывать» их (хотя бы частично) бесформенными предметами (скатертью или ковром со складками, наброшенным куском материи и пр.).

Чтобы получить перспективное изображение без недопустимых искажений, зрительное расстояние нужно брать в пределах трех-четырех радиусов, что соответствует углу зрения 37-28º.

Итак, выбирая зрительное расстояние, руководствуются следующими правилами:

1) зрительное расстояние при выполнении рисунка с натуры и при работе над композицией нужно брать равным не менее, чем двум радиусам круга поля ясного зрения;

2) при рисовании с натуры рисующий должен находиться от изображаемого предмета на расстоянии не менее двух его наибольших размеров. В практике обучения рисунку с натуры наилучшим зрительным расстоянием считается удаление от изображаемого предмета, равное трем его наибольшим размерам;

3) при рассматривании картины нужно стремиться определить удаление точки зрения. Если это окажется затруднительным, то зритель должен находиться от картины на расстоянии не меньшем двух радиусов поля ясного зрения или одной диагонали картины.