Свойства степенных функций и их графики
Степенная функция с показателем равным нулю, p = 0
Если показатель степенной функции y = x p равен нулю, p = 0, то степенная функция определена для всех x ≠ 0 и является постоянной, равной единице:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0 .
Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, .... Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1, гдеk = 0, 1, 2, 3, ... – целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций.
График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степениn = 1, 3, 5, ....
Область определения: –∞ < x < ∞
Множество значений: –∞ < y < ∞
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при –∞ < x < 0 выпукла вверх
при 0 < x < ∞ выпукла вниз
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степениn = 2, 4, 6, .... Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k, где k = 1, 2, 3, ... – натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже.
График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степениn = 2, 4, 6, ....
Область определения: –∞ < x < ∞
Множество значений: 0 ≤ y < ∞
Монотонность:
при x < 0 монотонно убывает
при x > 0 монотонно возрастает
Экстремумы: минимум, x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1
при x = 0, y(0) = 0 n = 0
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...
Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, .... Если положить n = –k, где k = 1, 2, 3, ... – натуральное, то ее можно представить в виде:
График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ....
Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...
Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ....
Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0: выпукла вверх
при x > 0: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Знак: при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Частные значения:
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...
Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ....
Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0: монотонно возрастает
при x > 0: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = 1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Степенная функция с рациональным (дробным) показателем
Рассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n – целое, m > 1 – натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей.
Знаменатель дробного показателя - нечетный
Пусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента. Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель pнаходится в определенных пределах.
Показатель p отрицательный, p < 0
Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ...) меньше нуля: 
.
Графики степенных функций 
с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...
Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , гдеn = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое,m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y ≠ 0
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0: выпукла вверх
при x > 0: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = (–1) n = –1
при x = 1, y(1) = 1 n = 1
Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...
Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , гдеn = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения: x ≠ 0
Множество значений: y > 0
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0: монотонно возрастает
при x > 0: монотонно убывает
Экстремумы: нет
Выпуклость: выпукла вниз
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: нет
Знак: y > 0
Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1
График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.
Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...
< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения: –∞ < x < +∞
Множество значений: –∞ < y < +∞
Четность: нечетная, y(–x) = – y(x)
Монотонность: монотонно возрастает
Экстремумы: нет
Выпуклость:
при x < 0: выпукла вниз
при x > 0: выпукла вверх
Точки перегибов: x = 0, y = 0
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
при x < 0, y < 0
при x > 0, y > 0
Частные значения:
при x = –1, y(–1) = –1
при x = 0, y(0) = 0
при x = 1, y(1) = 1
Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...
Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 < p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.
Область определения: –∞ < x < +∞
Множество значений: 0 ≤ y < +∞
Четность: четная, y(–x) = y(x)
Монотонность:
при x < 0: монотонно убывает
при x > 0: монотонно возрастает
Экстремумы: минимум при x = 0, y = 0
Выпуклость: выпукла вверх при x ≠ 0
Точки перегибов: нет
Точки пересечения с осями координат: x = 0, y = 0
Знак: при x ≠ 0, y > 0
Степенной называется функция вида y=x n (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.
Линейная функция y=x 1 (y=x)
График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.
График представлен ниже.
Основные свойства линейной функции:
- Функция возрастающая и определена на всей числовой оси.
- Не имеет максимального и минимального значений.
Квадратичная функция y=x 2
Графиком квадратичной функции является парабола.
Основные свойства квадратичной функции:
- 1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
- 2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
- 3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }
